Умножение матриц

В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Умножить матрицы в данном порядке невозможно. В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Первая координата в обозначении матрицы обозначает строку, вторая координата — столбец; этот порядок используют как при индексации, так и при обозначении размера. Это объясняет почему ширина и высота умножаемых матриц должны совпадать: в противном случае скалярное произведение не определено.

Сложность вычисления произведения матриц по определению составляет O(n3){\displaystyle \ O(n^{3})}, однако существуют более эффективные алгоритмы, применяющиеся для больших матриц. Тем не менее, в силу простоты алгоритм Штрассена остается одним из практических алгоритмов умножения больших матриц.

В дальнейшем оценки скорости умножения больших матриц многократно улучшались. В силу неустойчивости алгоритмов приближенного умножения в настоящее время они не используются на практике. В 1978 Пан предложил свой метод умножения матриц, сложность которого составила Θ(n2.78041). В 1979 группа итальянских учёных во главе с Бини разработала алгоритм умножения матриц с использованием тензоров. В 1990 Копперсмит и Виноград опубликовали алгоритм, который в модификации Вильямс Василевской2011 года умножает матрицы со скоростью O(n2.3727).

Квадратные матрицы можно многократно умножать сами на себя так же, как обычные числа, так как у них одинаковое число строк и столбцов. Такое последовательное умножение можно назвать возведением матрицы в степень — это будет частный случай обычного умножения нескольких матриц.

Наивный способ вычисления степени матрицы — это умножать k раз матрицу A на результат предыдущего умножения, начиная с единичной матрицы, как это часто делают для скаляров. Особый случай составляют диагональные матрицы. Таким образом, возвести диагональную матрицу в степень несложно. При возведении произвольной матрицы (не обязательно диагональной) в степень часто полезным оказывается использовать сначала свойства диагонализируемых матриц.

Действия с матрицами

Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами. Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы.

И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок. Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь».

Транспонирование матрицы. Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы. Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху. Сумма матриц действие несложное.

Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ. Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой! Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры. А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Умножение матриц онлайн с решением

Как умножить матрицы? Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя! Сервис умножения матриц онлайн c подробным решением позволит Вам расчитать произведение матриц нужной вам размерности а также покажет вам подробное решение и процесс перемножения матриц.

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. 1. В общем случае умножение матриц не является коммутативным. В результате умножений из данной матрицы A выделены 2-й столбец, первая строка, элемент a_{12}=2.

Читайте также:

Смотри еще: